헤겔 형이상학 산책55-미적분은 정당한가(4)[흐린 창가에서-이병창의 문화비평]

헤겔 형이상학 산책55-미적분은 정당한가(4)

1)

이상에서 헤겔은 뉴턴의 미분 증명이 이론적으로는 다른 미분 증명보다 탁월한 점을 제시했다. 그것은 페르마, 라이프니츠, 칸트 등이 여전히 무한소나, 사라지는 크기 개념에 매달렸을 때, 뉴턴은 최종 비례라는 개념에 도달했기 때문이다. 미분은 곧 최종 비례이다.

그런데 헤겔은 뉴턴이 이론적으로 확립한 이런 최종 비 개념이 실제 계산 과정에서는 무시되고 말았다고 말한다. 헤겔은 그 이유를 세 가지로 제시한다.

①계산을 편리하게 한다는 욕구가 미분 계산이 지닌 문제점을 간과하게 했다.

헤겔은 뉴턴이 범한 오류를 곱하기 즉 x*y의 미분을 끌어낸 증명에서 발견했다. 이 곱하기의 미분은 (x+1/2dx)(y+1/2dy)-(x+1/2dx)(y-1/2dy)이다. 뉴턴은 그 답이 xdy+ydx라고 했는데 사실은 dxdy가 추가돼야 한다.

그런데도 계산상의 욕구가 뉴턴이 자기 답이 오류라는 것을 무시하게 했다는 것이다. 헤겔에 따르면 뉴턴은 마찬가지로 미분 계산에서 첫 번째 항을 제외한 나머지 항은 그 값이 사소하기에 계산의 편의를 위해 버려도 무방하다고 보았다고 한다.

② 운동의 함수를 보면, 등속 운동은 v=ct 로 표현되고, 등가속 운동은 s=1/2at²이며 저항은 3차 함수로 표현된다. 그러므로 뉴턴은(이는 사실 라그랑쥬에서부터 유래하는데) 미분을 위한 전개식에서 첫 번째 항은 등속 운동을 의미하고, 두 번째 항은 등가속 운동, 세 번째 항은 저항을 의미한다고 본다. 이것은 전개식의 각 항에 질적 의미가 있다고 보는데, 예를 들어 낙하운동의 속도를 구하는 미분에서는 첫 번째 항 속도와 무관한 두 번째 이하의 항은 관계없으니 무의미한 것이라 보면서 제거했다는 것이다.

③세 번째는 카르노처럼 미분 계산에서 나오는 이항 정리에서 각 항은 동일한 비례가 반복되는 것에 불과하니, 버려도 된다는 주장이다.

2)

이어서 헤겔은 라그랑쥬의 입장도 소개하는데, 그는 뉴턴에 귀속되는 이유 중 ②을 포함하여 새로운 이유를 갖는다고 한다. 그 이유는 다음과 같다. 즉 미분 계산 가운데 이항 전개에서 나오는 각 항은 그다음 모든 항의 합보다 크기 때문에 무시할 수 있다는 것이다. 왜냐하면, 항은 점차 미분의 거듭제곱이 더 커지는 것인데(예를 들어 dx, dx², dx³ …) dx가 아주 작은 수이니 그 제곱은 제곱으로 작아지기 때문이다. 라그랑주가 들고 있는 이 이유는 사실 첫 번째 항을 제외한 나머지 항은 그 값이 사소하다는 주장과 같은 주장이니 주장①에 통합해도 될 것이다.

라그랑쥬의 주장을 제쳐 놓으면, 남은 것은 뉴턴이 말한 세 가지 이유다. 이 가운데 ②, ③ 주장은 그 주장 자체가 합리적으로 이해되지 않는다. 상식적으로 그럴 것 같지 않은 주장이기 때문이다. 뉴턴이 정말 그랬을까 싶은데, 일단 헤겔은 그렇게 파악한다는 사실만 말하고자 한다. 헤겔 자신도 그런 주장을 소개만 할 뿐, 정당한지는 따로 말하지 않는다.

그러므로 핵심은 역시 첫 번째 주장에 있다. 뉴턴은 이론적으로는 최종 비례라는 개념을 끌어냈으나, 실제 계산에서는 다시 최종적 크기, 또는 사라지는 크기라는 개념으로 되돌아가면서, 라이프니츠와 마찬가지로 나머지 항은 크기가 작으므로 버려도 된다고 보았다는 것이다.

헤겔은 뉴턴이 이런 식으로 사라지는 크기로 되돌아간 것은 수학적 증명 과정에서 dx와 dy가 비례 관계로 묶이지 않고 각자 독립적으로 출현하므로, 이를 최종 비례의 계기로 보지 않고, 사라지는 크기로 파악하게 되었다고 한다.

헤겔은 미분 계산에서 dx, dy는 단적으로 dy/dx의 계기로서만 여겨져야 하는데도 “특히 그런 기호를 적용하는 데서 기계적으로 계산하는 가운데 미분 계수의 양 측면[dx, dy]이 서로 떼어 내진다는 것으로부터 그런 계산이 끌어내는 장점이 사라진다”(논리학 재판, GW21, S. 265)고 한다. 여기서 그 계산이 지닌 장점이란 곧 미분을 비례로 이해함으로써, 미분 계산이 부딪힌 모순이 해결되는 장점을 말할 것이다.

3)

이상과 같이 헤겔은 뉴턴의 미분을 이론에서는 최종 비로 파악했음에도 불구하고 적용에서는 이를 다시 사라지는 크기로 이해하는 잘못을 서술한 다음, 최종 비의 개념이 비례의 한계라는 개념으로 전개될 수 있다고 말한다.

비례의 한계란 곧 dy/dx가 질적인 크기로서, 일정한 한계를 지닌다는 것을 말한다. 물론, 이 한계는 곧 가변적 크기의 함수 즉 원래 함수 관계에 있는 x, y 즉 F(x)가 지닌 한계다. 질적 한계(dy/dx)를 이루는 두 요소 dx, dy는 오직 이런 관계 속에서 계기로서만 존재하며 더는 독자적인 정량으로서 존재하지 않는다.

이미 말했듯이 정량에서는 한계가 자기에 외면적이다. 그러므로 항상 자기 스스로 증가하거나 감소할 수 있다. 이런 정량은 그 한계 즉 규정이 자기에 외면적이니, 서로 동일하면서도 서로 무차별하다. 여기서 독특한 양적 관계 즉 연속성과 불연속성의 이중성이 출현한다.

그러나 비례에 이르면, 한계는 다시 내면화하면서 고정된다. 하나의 질적인 한계 즉 어떤 규정은 내면화되는 동시에 다른 질적 한계나 규정과 대립 관계 속에 놓여 있다. 이제 하나의 비례 규정은 타자와 대립해서 자기를 규정한다.

이런 비례의 한계 개념에서는 앞에서 말했듯이 dx가 0으로 수렴하더라도, 비례의 한계 즉 dy/dx는 0/0이 아니라 일정한 값을 지니게 된다. dx 즉 증분은 끊임없이 0에 다가가는 점근적인 것이더라도, 비례의 한계는 일정하다. 그러므로 이런 비례의 한계 개념은 사라지는 크기로서 증분 또는 미분이라는 개념에서 해방된다.

“미분 계산에서 dx, dy로 출현하는 무한소는 어떤 유한적이지 않은, 주어지지 않는 크기가 지닌 부정적 공허한 의미를 더는 갖지 않을 뿐만 아니라 양적인 것의 질적 규정 즉 비례의 계기 그 자체라는 특정한 의미를 지닌다.” ”(논리학 재판, GW21, S. 265)

사라지는 크기라는 개념은 여전히 정량의 개념에 머무른다. 그러나 최종 비, 또는 비례의 한계라는 개념을 통해 진정한 무한의 개념이 출현하며, 정량은 그 자체로서 지양되면서 질적인 크기 즉 비례의 계기가 된다. 헤겔은 이를 “유한한 크기가 무한한 크기로 전환한다”라고 말한다.

“지적된 바와 같이 소위 미분은 비례의 양 측면 즉 정량이 사라짐을 표현하며[사라지는 크기] 남아 있는 것은 양적 비례이어서 그런 한 순수하게 질적인 방식으로 규정된다. 질적 관계는 여기서 사라지지 않으니, 오히려 바로 유한한 크기가 무한한 크기로 전환하는 결과로 나오는 것이다.” ”(논리학 재판, GW21, S. 268)

유한한 크기 즉 정량과 무한한 크기 즉 비례는 서로 다르다. 구체적 예를 들어 원호는 정량으로 본다면, 할선보다 클 수밖에 없다. 할선은 직선이며 두 점 사이에 최단 거리기 때문이다. 그러나 원호를 무한한 할선으로 구분하면, 무한한 원호는 무한한 할선과 같게 된다.

또 운동을 예로 들어 볼 때, 곡선 운동과 직선 운동의 관계도 마찬가지다. 양적으로 양자는 다르지만, 무한한 크기로서는 양자는 같다. 즉 가속 운동[ungleichfoermige Bewegung]에서 무한히 작은 시간에 지나가는 거리는 등속 운동[gleichfoermige Bewefung]에서 무한히 작은 시간에 지나가는 거리와 같다.

4)

주석1을 마치면서 헤겔은 마지막으로 수학적 방법의 한계를 지적한다. 그는 옛날의 해석학자는 해석학을 어디까지나 구체적 대상과 관계하여 전개했다. 이때 구체적 대상이란 바로 공간적 관계나 역학적 운동을 말한다. 사실 뉴턴은 경험적으로 증명된 것 즉 갈릴레오에 의해 발견된 낙하 법칙이나 케플러에 의해 발견된 천체 운동 법칙을 그의 미적분론을 통해 정당화했을 뿐이다.

그러나 헤겔 당시 해석학자는 구체적 대상과 관계 속에서 지닌 실질적 의미를 무시하고 전적으로 추상적인 수학적 방식으로 발전시키는 동시에 이를 모든 대상에 무차별적으로 적용하려 했다고 비판한다. 이들은 수학의 지위를 경험을 넘어 고양하면서 수학적 사유에서 자연법칙을 끌어내려 했다.

“그런 명제는 역학의 근대 해석학적 형태에서는 전적으로 계산의 성과로서 소개되며 그런 명제가 실질적인 의미를 지니는 것인지 즉 어떤 실존이 그런 명제 자체에서 독자적으로 어떤 상응하는 의미를 지니는지를 전혀 고려하지 않으며 또한 그런 것의 증명도 고려하지 않는다.””(논리학 재판, GW21, S. 271)

“단순한 계산을 통해 경험을 넘어서 제시되는 법칙, 어떤 실존도 갖지 않은 실존 명제를 발견하려는 시도가 학문의 승리로 과장되고 있다.””(논리학 재판, GW21, S. 271)

“그와 같은 가상을 사람들은 단순한 믿음이나 경험적 지식보다 항상 더 우선시했다. 그러나 나는 이런 방식이 단순한 주머니 돌리기 요술이나 증명하는 체하는 것 이상의 것이 아니라고 여기며 그 아래에 뉴턴의 증명조차 집어넣는데 굳이 숙고해볼 필요조차 느끼지 못한다.””(논리학 재판, GW21, S. 272)

그러나 헤겔은 이런 수학의 월권을 비판한다. 수학은 경험을 통해 이미 발견된 법칙을 정당화하는 도구에 지나지 않는다는 것이다. 또한, 미적분론은 자기 제곱이 가능한 대상 즉 공간이나 역학적 운동에서나 타당할 뿐이라고 한다.

5) 이상 헤겔이 수학적 무한성이라는 이름으로 주석 1에서 전개한 내용을 간단하게 정리해 보았다. 주석 2와 주석 3은 재판에서 추가한 것이다. 주석 2는 방정식의 본질에 대한 설명을 제외하고는 주석 1의 내용과 거의 합치한다. 주석 3은 적분 개념을 통해 다시 수학적 무산성을 소개하는데, 주요 내용은 미적분은 수적으로는 거듭제곱의 함수에서 적용되며 구체적으로는 공간 운동이나 역학적 운동에 적용될 수 있을 뿐, 모든 운동에 적용할 수는 없다고 한다. 이미 주석 1에서 충분히 설명한 부분이라 더 구체적인 소개는 생략하려 한다.